陈念仪:从假设推理开始,唤起学生的数学思考

陈念仪:从假设推理开始,唤起学生的数学思考

如何让学生经历知识的产生与发展的过程?如何唤起学生深层次的数学思考?如何依据教材适时地渗透数学思想,深入到数学的“灵魂深处”?今天,“2015年度新教师300人”之陈念仪为您娓娓道来。】

原创声明:本文版权归《新教师》所有,欢迎朋友圈分享,微信公众号或其它形式转载,请后台留言联系授权!


陈念仪:从假设推理开始,唤起学生的数学思考


个人小传 ID:new_jiaoshi

陈念仪,重庆精一民族小学数学教师,在国家级、重庆市市级及区级教学论文、案例比赛中取得优异成绩,同时在国家精品课程“同课异构”比赛中获得一等奖。

“教师是阳光下面的一片绿叶”,她因此感受到了教育的幸福之光,并在平凡的耕耘之路上不断寻找生命的支点,一次次在孩子们的心里折射出阳光的灿烂。



新教师

new_jiaoshi


教育理解

播撒“聪明的种子”

什么是数学?19世纪下半叶,恩格斯为数学作了一个经典定义:“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”逻辑之父亚里斯多德曾说:“数学是计量的科学。”而后,英国数学家怀特海(Whitehead)认为:“数学是研究模式的科学。”现代数学家柯恩(Cohen)所说:“数学只是一种纯粹的符号游戏。”可以说:有多少数学家就有多少种“数学”。

而让我顿悟的则是语文同仁的一句话:“数学是让人变得聪明的学科!”对,数学教学不仅仅是让学生掌握基础知识和基本技能,更要让他们学会运用数学思想方法来思考问题,从而变得“聪明”!因此如何向学生渗透数学思想方法是我们数学教师上好数学课的关键。

如果教师在课前对教材内容的教学适合渗透哪些思想方法一无所知,那么课堂教学就不可能有的放矢。受篇幅的限制,教材内容较多显示的是数学结论,对数学结论里面所隐含的数学思想方法以及数学思维活动的过程,并没有在教材里明显地体现。因此教师在备课时,不应只见直接写在教材上的数学基础知识与技能,而是要进一步钻研教材,创造性地使用教材,挖掘隐含在教材中的数学思想方法,并在教学目标中明确写出渗透哪些数学思想方法,并设计数学活动落实在教学预设的各个环节中,实现数学思想方法有机地融合在数学知识的形成过程中,使教材呈现的知识技能这条明线与隐含的思想方法的暗线同时延展。为此,教师在研读教材时,要多问自己几个为什么,将教材的编排思想内化为自己的教学思想,如:怎样让学生经历知识的产生与发展的过程?怎么样才能唤起学生进行深层次的数学思考?如何激发学生主动探究新知识的积极性?如何依据教材适时地渗透数学思想方法等等,教师只有做到胸有成竹,方能有的放矢。

教材中的数学思想并没有标注在教材上,有了挖掘的意识,就要学会去捕捉它,并在教学过程中去渗透。教师积极地在课堂中渗透数学思想方法,体现了教师在教学中的大智慧,也为学生的学习开辟了一个广阔的新天地。数学知识发生、形成、发展的过程也是其思想方法产生、应用的过程。在此过程中,向学生提供丰富的、典型的、正确的直观背景材料,采取“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式,通过实际问题的研究,了解数学知识产生的背景,再现数学形成的过程,揭示知识发展的前景,渗透数学思想,发展学生的思维能力,使学生在掌握数学知识技能的同时,即学会数学概念、公式、定理、法则等的过程中,深入到数学的“灵魂深处”,真正领略数学的精髓——数学思想方法。

如我在教学“植树问题”时,首先呈现:在一条100米长的路的一侧,如果两端都种,每2米种一棵,能种几棵?面对这一挑战性的问题,学生纷纷猜测,有的说种50棵,有的说种51棵。到底有几棵?我们能否从“种2、3棵……”出发,先来找一找其中的规律呢?随着问题的抛出,学生陷入了沉思。如果把你们的一只手5指叉开看作5棵树,每两棵树之间就有一个“间隔”(板书),一共有几个间隔?学生若有所思地回答是4个。如果种6棵、7棵……,棵数与间隔的个数有怎样的关系呢?于是我启发学生通过动手摆一摆、画一画、议一议,发现了在两端都种时棵数和间隔数之间的数量关系(棵数=间隔数+1),顺利地解决了上述问题。然后又将问题改为“只种一端、两端不种时分别种几棵”,学生运用同样的方法兴趣盎然地找到了答案。以上问题解决过程给学生传达这样一种策略:当遇到复杂问题时,不妨退到简单问题,然后从简单问题的研究中找到规律,最终来解决复杂问题。通过这样的解题活动,渗透了化繁为简、探索归纳、数学建模的思想方法,使学生感受到思想方法在问题解决中的重要作用。

数学来源于生活并应用于生活。前面的探索研究为我们提供了理论依据,怎样应用于实践,还需要我们的习题巩固。如果说探索是重点,应用于实践是重中之重。在这个环节中是利用我们的数学思想方法,解决现实问题。因此精心设计练习,设计一些蕴含数学思想方法的题目,采取有效的练习方式,既巩固了知识技能,又再一次渗透了数学思想方法,一举两得。如一位六年级老师布置了下面这道课后思考题。

陈念仪:从假设推理开始,唤起学生的数学思考

在作业讲评中,教师不仅要给出答案,更重要的是启发学生思考:你是怎样算的?是怎么想的?其中运用了什么思想方法? 结合上图引导学生概括出其中的思想与方法:类比思想、数学建模思想、极限的思想、数形结合的思想。

其实,谈的这些,总结起来就是有意识,善传递,重运用,这只是我个人在教学中关于如何渗透数学思想方法的一些思考,当然,肯定还有很多思考不成熟的地方,值得我去研究,前方的路虽然漫长,但是,我告诉自己要坚持。我的目标是成为让学生变得“聪明”的数学教师!

陈念仪:从假设推理开始,唤起学生的数学思考

《鸡兔同笼》教学设计

教学内容:


义务教育课程标准实验教科书四年级下册数学广角—-鸡兔同笼问题。

教材分析:

数学广角重在向学生渗透一些数学思想方法,并初步培养学生有序地、全面地思考问题的意识。因此,“鸡兔同笼”问题作为数学广角教学内容之一,正是教材注重渗透思想方法,关注学习过程的重要体现。教材借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题,让学生应用列表、假设等多种方法来解决问题,积累解决问题的经验,渗透化繁为简、建模的思想,为学生的终身发展奠定基础。

教学目标:

1.了解鸡兔同笼问题,感受古代数学问题的趣味性。

2.尝试用不同的方法解决鸡兔同笼问题,使学生体会假设的一般性。

3.在解决问题的过程中,培养学生的思维能力,并向学生渗透化繁为简、建模等数学思想和方法

教学重点:用假设法解决鸡兔同笼问题。

教学难点:让学生认识、理解、运用假设法。

教学准备: 多媒体课件、练习题单。

教学过程:

一、揭示课题

1.介绍数学文化

师:同学们你们知道吗?中国数学的起源距今有五千多年历史,成就辉煌。我们的古人为我们留下许多有名的数学著作。

PPT展示:《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等。

2.大问题引领

师:今天老师将和大家一起来学习一道出自《孙子算经》,在我国古代非常有名的数学经典趣题。(板书课题:鸡兔同笼。)

师:看见这个题目,你有什么疑问?

1:什么是“鸡兔同笼”?(板书:①是什么?)

2:怎么解决“鸡兔同笼”的问题?(板书:②怎样解决?)

3:为什么学习“鸡兔同笼”?(师:这是一个值得探讨的问题。)(板书:③为什么学习?)

二、新课教学

1.什么是“鸡兔同笼”?

师:下面我们就来看看什么是“鸡兔同笼”?

PPT出示《孙子算经》里的“鸡兔同笼”原题:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?

师:同学们,这道题是以文言文的方式表述的,“指鸡,哪位同学看懂这道题的意思了?

PPT出示正确意思:笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。鸡和兔各有几只?

师:现在你们知道“鸡兔同笼”是什么意思了吗?

生:就是把鸡和兔关在一个笼子里,告诉我们鸡兔的总头数和总脚数,求出鸡和兔各几只。(强调几个头就是一共有几只鸡和兔,一只鸡有2只脚,一只兔有4只脚。)

师:“鸡兔同笼”不仅仅是鸡和兔关在一个笼子里,而是借助鸡和兔为载体,来研究一种具有特殊数量关系的数学问题。(板书:数学问题)

2.怎么解决“鸡兔同笼”的问题?

1)化繁为简独立尝试

师:由于“鸡兔同笼”问题有它独特的思考方式和解题方法,才会流传至今。我们在研究解题方法的时候,可以把数字改小从简单的问题入手。

PPT出示:笼子里有若干只鸡兔。从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚,鸡和兔各有几只?

师:同学们,结合以前学习数学的经验,回忆一下解决问题的方法,你觉得可以尝试用哪些方法来解决这个问题?(画图法和列表法。)你们能自己尝试一下来解决问题吗?

2)全班交流

师:请仔细倾听别人的发言,比较一下你们的方法是否相同。

预设:

第一种:画图法

生:我们画8个圆当作动物的头,把线段当作动物的腿。这一共有26条腿。我们假设这8只动物全是鸡,先把每只鸡摆上2条腿。我们画完了发现只有16条腿,跟题中说的26条腿还差10条。我们把每只鸡再添上2条腿换成兔子。那多出来的10条就分完了。我们的结论是兔有5只,鸡有3只。

师:你们听明白了吗?

师:这种方法叫画图法。(板书:画图法。)

师:为什么每个头先只画2只脚?(假设全都是鸡。)

师:为什么这5只又添上了2只脚?(一个头再添上2只脚就变成了兔,还有10只脚,就给5个头添上,就是5只兔。)

师:有用到画图法,但和他的想法不一样的同学吗?

师:你们认为这种方法有什么好处?(形象直观)

第二种:列表法

1:我采用列表法得出的答案。先假设有1只鸡,7只兔,脚就要30条。脚太多了。然后又假设有2只鸡,6只兔,脚28只,还是多了。这样试下去就得到了有3只鸡,5只兔,脚正好26只。

陈念仪:从假设推理开始,唤起学生的数学思考

师:这种方法叫列表法。(板书:列表法。)师:你们听明白了吗?

师:他是怎么思考的?

师:先假设7只鸡,1只兔(为什么兔是1只?),脚就有18只(怎么算的?),脚的只数不是26,就进行调整,鸡减少1只,兔就增加1只,脚就是20只,增加了2只(为什么脚增加了2只?),但还不是26只,就接着调整,直到调整到鸡3只,兔5只,脚就正好是26只。

师:有用列表法,和他列的表不一样的吗?

2

陈念仪:从假设推理开始,唤起学生的数学思考

师:你们认为列表法有什么好处?(比较简单,容易理解。)师:第一个同学通过有序的思维,解决了问题,很会思考。第二个同学通过从4只鸡和4只兔开始想,方法很巧妙,值得学习。

第三种:假设法(可以直接出示)

1:假设全部是鸡,8只鸡就有2×8=16只脚,少算了26-16=10只脚,一只兔看成一只鸡就少了2只脚,那10÷25只兔看成5只鸡就少了10只脚,所以兔有5只,鸡有8-5=3.(检查)

师:刚才这位同学把笼子里的动物全假设成鸡了,还有不同的假设法吗?

2:假设全部是兔,8只兔就有4×8=32只脚,多出了32-26=6只脚,一只鸡看成一只兔就多了2只脚,那6÷23只鸡看成3只兔就多了3只鸡,所以鸡有3只,兔有8-3=5只。

师:这种方法叫假设法,把所有的物体都看成同一类,结果就和原来的数量产生了矛盾,进而分析产生矛盾的原因,找出解决矛盾的方法。(板书:假设法。)

比较:

师:同学们用到了画图法、列表法和假设法来解决这个问题,表面看方法各不同,实质上都用到了假设。画图法是假设全是鸡,再一只鸡添2只脚,一只鸡添2只脚,一步一步进行调整,直到脚的总只数达到26只为止;列表法是有序的进行假设,再一步一步进行调整;而假设法是全部假设为鸡或全部假设为兔,再一次性调整到位。

3)解决原题

师:你能用你认为合适的方法来解答孙子算经里的原题吗?

PPT出示:笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。鸡和兔各有几只?

全班交流展示。

师:为什么没有同学用到列表法和画图法呢?

小结:虽然解决这类问题的方法很多,用画图、列表、假设等方法都可以解决但当数据较大时,画图法和列表法的过程就很繁琐了。假设法具有一般性,不管是数据较大时或数据较小时都可用到这种方法。

3.学习“鸡兔同笼”的价值

师:现在你知道怎样解决“鸡兔同笼”问题了吗?请你用学到的解题方法解答下面3道题:(要求分组完成,汇报时找联系)

PPT出示:

陈念仪:从假设推理开始,唤起学生的数学思考

师:请同学们独立思考,完成在题单上。思考:每道题和“鸡兔同笼”有什么联系?

学生独立思考,全班交流。

师:同学们完成了这四道题以后,你知道我们为什么要学习“鸡兔同笼”了吗?

小结:鸡兔同笼这类问题我们不只局限算鸡和兔的只数问题上,它就像一个模型,我们可以在日常生活中找到很多类似的问题。只要能用鸡兔同笼的解题思路来解答的问题都可以统一叫做鸡兔同笼问题。

三、课堂总结

师:通过这节课的学习,你们有哪些新的收获?

生:我学会用画图法、列表法、假设法解答鸡兔同笼的问题了。

生:假设法不但能解决鸡兔问题也能解决其类似的问题。

总结:从一个具体的数学问题出发,研究解法,并上升到一种模型,最后进行广泛的运用,数学就是这样发展起来的。同样,如果我们在学习各种数学问题时能有“模型”的意识,举一反三,触类旁通,那么我们一定会更加轻松地学习数学。

四、阅读延伸

师:在中国古算书中,《孙子算经》一直在我国数学史占据重要的地位,包含许多有趣的题目。有兴趣的同学可以去看看这本书,寻找一些你感兴趣的问题。

1.“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”

2.“巍巍古寺在山林,不知寺内几多僧。三百六十四只碗,看看用尽不差争。三人共食一碗饭,四人共吃一碗羹。请问先生明算者,算来寺内几多僧?”

板书设计:

陈念仪:从假设推理开始,唤起学生的数学思考

教学反思:

通过解读教材,我知道鸡兔同笼问题最早出现在我国古代的一本数学著作《孙子算经》中,虽历经1500多年,该类问题还是向我们展现出了其巨大的魅力。二、三年级的奥数中有,新教材放在了四年级下册,原来的教材在六年级的教材中有,到了初中还要学,那么该类问题中究竟蕴含着怎样的数学思想,我们在教学中应该怎样构建该类问题模型,教给学生解决该类问题的方法,使学生的数学思维得到相应的发展呢?

带着这样的思考,我不断地查阅资料,寻找我课堂教学的立足点。很幸运的是在查阅资料的过程中有机会读到了《“鸡兔同笼”问题中的数学思想方法及其渗透策略》这篇文章,给了我很大的启发。文章中提到“当转化、列举、画图、假设、建模、代数、抬脚等多种数学思想方法同时作用于“鸡兔同笼”问题中时,它们之间必然存在相互关联之处。如果按思想方法的作用给其分类,转化是解决“鸡兔同笼”问题中的基础性的思想方法,不可少之;列举、画图、抬脚是解决“鸡兔同笼”问题中颇有局限性的思想方法,虽为假设做好了铺垫或延伸,但会受到数目大小或奇偶性的限制,不能广泛用之;真正能够适应于此类问题的具有普遍意义的一般性方法,无疑还是假设和代数的思想方法。”而新教材将这个内容放在四年级下册,则是将代数法省略,把重点放在了假设法上。由此看来,学生真正最需要获得的,又能适应解决问题普遍性要求的一种新的数学思想方法就是假设法,至于抬脚法,我将放在第二课时教学。

本节课在以下方面有所突破:

1.体现解决问题策略的多样化与优化

鸡兔同笼问题作为四年级数学广角的内容,它的思维含量很高,由于学生原有认知背景的不同,他们对解答本课时的题目存在较大的差异,所以,在教学的过程中,不能提出统一的要求,可允许不同的学生采用不同的解题方法。本节课,师生共同经历了三种不同的方法:列表法、假设法、画图法的练习,我先让学生选择自己喜欢的方法进行解答,在学生汇报后,进一步问:“还有其他解决方法吗?”促进学生去思考更多的解法,并尽可能多的让学生说出解法,最后比较哪种算法比较好。从列表的枚举法到假设的算术法,不仅从思维上层层递进,而且更好地体现了解决问题策略的多样化与优化。

2.注重数学思想、数学文化的传承

“鸡兔同笼”是我国民间广为流传的数学趣题。教学中,我从该趣题引入,化繁为简,解决原题,还其生动有趣的一面。通过学习,不仅使学生感受了祖先的聪明才智,渗透一种古代数学文化,更重要的是体会了其中蕴含的丰富数学思想方法,培养了学生的学习兴趣能力。如:用容易探究的小数量替代《孙子算经》原题中的大数量的“替换法”解决问题,渗透了转化的思想和方法;用“算术法”解决问题,渗透了假设的思想和方法等。

3.形成假设的数学思想

课前,我就感受到了这节课容量大,学生难理解,如果一节课中要求学生理解所有的思想内涵,必将导致课堂内容学习的拥堵和孩子们学习的不知所措。教学中,我并没有平均分配学习时间和关注度,而是结合孩子们认知方式的,选取了算术解决的假设模型为本课数学思想的重点去渗透,让孩子们在学习解决问题的过程中,在不知不觉的对比中,体会数学思想。正如一些听课老师所说的,学生能够提出用假设法解决鸡兔同笼问题,那这节课的教学目标就已经达到了,因为他已经体验和形成了假设的数学思想。

4.构建该类问题的数学模型

在学生重点掌握了解题方法后,通过完成练习让学生体会到 “鸡兔同笼”问题并不单指“鸡兔同笼”,该类问题在我们的生活中经常遇到,如龟鹤问题、男女生植树问题、租大船小船问题等。明确其在生活中的应用,体现数学的生活味和应用价值。让学生感受到“鸡兔同笼”问题的学习,贵在学习一种假设推理的思想方法,贵在用来解决生活中类似于鸡兔同笼的变式问题。拓宽了对“鸡兔同笼”问题的认识,构建了该类问题的数学模型,形成了知识的迁移。


特别推介

梭罗的《种子的信仰》是一本美妙神奇的大自然之作,是一部崇仰自然、敬畏生命的奇书。美国评论界也认为这是他毕生研究自然和自然律于人类意义的登峰造极之作。梭罗试图以人文主义的悲悯关怀和科学求实的严谨周密表现森林中万千繁复生命,探求自然的丰满纯净。他摒弃“生命被琐碎之事消耗”的世俗文明,终生追求“简单些,再简单些”的质朴生活,提倡短暂人生因思想丰盈而臻于完美。“我不相信,没有种子,植物也能发芽,我心中有对种子的信仰。”“让我相信你有一颗种子,我等待着奇迹。”“自然界最渺小的事物最卓越。”……这本书与其是在说“种子”,莫不如说是梭罗在对生命充满敬意的讴歌,是对大自然顽强意志的崇敬,对自然科学精神热忱向往的追求,是在教我们如何做人、育人!一粒种子就是一颗魂归自然的心灵,无数颗种子演绎成绿色的希望。教书育人其实就是在“播撒种子”!相信经过精心的呵护,这颗种子定会创造奇迹!


陈念仪:从假设推理开始,唤起学生的数学思考

·END·

春风十里,一路有你

新理念·新方法·新实践


2015年4月起,“新教师”微信公众平台将以每天推出一位新教师的方式,在国内外筛选“年度新教师300人”,呈现一群有教育情怀、敢于实践、具有创新精神并善于学习的教师队伍,以及他们的经历,他们的课堂,他们的反思,他们的阅读与生活。 在此,我们特别邀请您自荐或推荐您心目中的“新教师”,分享给中外教育同仁以及广大的学生、家长,让我们共同为当下的、未来的教育做点什么。


点击左下方阅读原文,进入官方网站见证更多精彩,获取《新教师》杂志微信公众平台征稿启事。

陈念仪:从假设推理开始,唤起学生的数学思考

关注《新教师》:

长按二维码——点击“识别”——点击“关注”

http://xzh.i3geek.com

发表评论

邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注