你知道吗?教材练习题,居然能折腾出这么多深度学习的可能

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图丨林单调

你知道吗?教材练习题,居然能折腾出这么多深度学习的可能

教材,无疑是师生教与学的参考资料,但在实践中我发现,教材中总会出现一些“犹抱琵琶半遮面”的题目,让我们忽视或徘徊。

所以,当教材内容不能满足需要时,我们要善于调整、改进教学,把“小荷才露尖尖角,早有蜻蜓立上头”此类欲言又止的教学内容,变成“拨开云雾见青天,守得云开见月明”,让知识不再“如梗在喉”而是“一吐为快”。

同时,鼓励学生主动寻找题目后面的隐藏规律,获得更明朗的知识体系,达到综合学习能力的提高。

更进一步,看见更多可能

“数学教师的首要责任是尽其一切可能,来发展学生解决问题的能力。”数学教育家波利亚的这句话,让我思考:

如果能组织更进一步的教学活动,让学生更深入地去探究知识,寻找真相背后的规律,必定让学生能更容易地理解知识,掌握学习方法。

比如,人教版五年级下册学习《分数加减法》之后,教材安排了一节应用课,如下:

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教材的解决方法是:

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教材的解题思路还是比较合理的,对于学习稍有困难的学生来说,到此就可以“戛然而止”了,但对于大部分学生来说,此题难度偏低。因此我在教学时安排了进一步教学:

师追问:乐乐玩了之后回来喝,觉得有点凉,就又兑满了热水,喝了半杯,又出去玩了。(学生乐了)现在他一共喝了多少杯纯牛奶?多少杯水?小组讨论一下,有困难的可以选择画图试试。

反馈:学生基本选择用画图的方式,主要有下面两种图,学生很快从图中看出结论:第三次喝牛奶1/8喝水3/8

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师继续追问:乐乐玩了之后又回来喝,觉得有点凉,就又兑满了热水,喝了半杯,又出去玩了。现在他一共喝了多少杯纯牛奶?多少杯水?(学生都笑开了)

有学生脱口而出:牛奶喝了1/16水喝了3/16

师(不判断正误)顺势提问:你怎么知道的?

生:我是从上面的规律中找到的。

师:你们发现规律了吗?找找看?(出示表格,让学生填写)。

次数

喝牛奶杯数

一共喝牛奶杯数

喝水杯数

一共喝水杯数

1

1/2

1/2

0

2

1/4

1/2+1/4=3/4

1/4

1/4

3

1/8

1/2+1/4+1/8=7/8

3/8

1/4+3/8=5/8

4

1/16

1/2+1/4+1/8+1/16=15/16

7/16

1/4+3/8+7/16=17/16

5

……

……

……

……

生1:每次喝的是半杯,所以只要求出牛奶杯数,再用半杯减去牛奶杯数就是喝水的杯数。

生2:第一次喝牛奶12杯,第二次14杯,第三次18杯,第四次116杯,每次都是分母乘2。

师:如果第8次喝,你觉得喝多少杯牛奶?多少杯水?

生3:我觉得应该是8个2的积作分母,分子还是1。因为第一次的分母是1个2,第二次是2个2的积,第三次是3个2的积,第四次是4个2的积。

师:如果第n次呢?

生3:那就是n个的积分之一。

师:用算式表示?

生4:12n 。

总结:

浙江省小学数学教学建议第13条:“ 课堂要注意动静搭配,要以学生独立思考为主,适当穿插教师讲解、师生对话和合作学习。”

面对教材中只安排2次喝牛奶,我认为深度不够,还可以让学生通过画图、讨论、分析、推理第3次、第4次……喝牛奶的份数,从而归纳出喝牛奶中的规律,明确任意次数都能用一个算式12n来表示的道理。

规律就在更进一步的研究下产生了,如果不研究,这道例题就很难让学生发现规律,例题只能成为一道普通的异分母分数加减法。

同样的问题场景:“乐乐玩了之后又回来喝,觉得有点凉,就又兑满了热水,喝了半杯,又出去玩了。现在他一共喝了多少杯纯牛奶?多少杯水?”让学生感觉问题重复了,有点可笑,但笑过之后却让学生想到这是一个新的问题,一个比刚才难度大很多的问题。

一个在原来问题基础上再次提出的重复问题却充分发挥了学生能动性,并把枯燥的数学问题转化成趣味无穷、挑战无限的数学场景,让课堂上每一个学生都自觉而又兴趣盎然地参与其中, “快乐学习”展现得淋漓尽致。

让新知识“旧”一点

学习小数、分数后,许多原本较为简单的整数习题摇身一变得让人晦涩难懂,学生见题怯步。

这时我们要引导学生充分考虑新旧知识之间的联系,把新知识“还原”,让学生感觉到这是一道曾经做过的习题。

通过习题的“简化”,让学生明白解题过程中化难为易的规律,为今后的数学研究提供了一种很好的学习方法。

人教版五年级练习二十五第10*题,利用一个封闭的填数图形,来复习、巩固分数加、减法的练习题目。

教学过程如下:

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师:你是怎么填写的?

生:我是先利用左下角正方形三个数求出第四个数,1-3/10-1/4-1/20=2/5 ,再根据右下角正方形三个数求出第四个数,1-1/4-2/5-1/5=3/20 ,然后根据中间正方形三个数求出第四个数,1-3/10-2/5-1/5=1/10 ,然后根据左上角正方形三个数求出第四个数,1-3/10-1/4-1/10=7/20 ,最后根据右上角正方形三个数求出第四个数,1-1/4-1/5-1/10=9/20 。

师:思路非常清晰,在此基础上你能不能想到更简单的方法甚至用学过的知识来解决?小组讨论一下。

生1:我们小组认为可以先通分,把已知的四个异分母分数化成分母是20的分数,再用刚才的方法计算就会简单很多,只要在最后把得数能化简的化简就行。第一个数是1-6/20-5/20-1/20=8/20=2/5 ,第二个数是1-5/20-8/20-4/20=3/20 ,第三个数是1-6/20-8/20-4/20=2/20=1/10 ,第四个数是1-6/20-5/20-2/20=7/20 ,第五个数是1-5/20-4/20-2/20=9/20 。

生2:我们组是先把三个数加起来再用1去减的。

师:这是用到了?

生齐答:减法的性质。

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此时,我发现学生的方法基本是这一种方法时,便继续追问:还能在此基础上想到更简单的方法吗?继续讨论。

生3:我们发现可以先把分母20当没有,这样已知的数就是6、5、4、1,把题目中四个数的和改成20就行了,第一个数是20-6-5-1=8,第二个数是20-5-4-8=3,第三个数是20-6-8-4=2,第四个数是20-6-5-2=7,第五个数是20-5-4-2=9。最后在这些得数上添上分母20,能化简的化简就行了。

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总结:

这道习题的目的是培养学生分析问题的能力,从三个数推导计算出第四个数,再根据这第四个数与另二个数组成新的三个数,求出第四个数,以此类推,所以求出第一组数中的第四个数是关键之处。

然而,此方法对于大部分学生而言,并不是难事,基本能找到规律,说明这不是难点所在。

为此我尝试让学生联系旧知识,把五道异分母混合运算算式转变成学过的简单的同分母分数加减法,再通过追问继而转变成学过的更简单的整数加减法,使题目越来越清晰地呈现在学生面前,让他们明白了新知识原来可以借助旧知识来解决的道理。

新旧数学知识是有连贯性的,也是有延展性的,新知识在旧知识的基础上再加工而成,但也有一些新知识可以合理利用旧知识的延展性还原解决。

子曰:“温故而知新,可以为师矣。”在教学中,要引导学生利用旧知识去认识新知识,应用己学习过的方法去解决新的问题等学习方法,激发创新思维的发展。

让学生自己去探索

有些教材内容在教学过程中可以发现,根据所教学生学业特点,如果能合理地对内容进行整合,可达到事半功倍的效果。布卢姆提出:“教学的艺术在于使学生花适当的时间就能掌握教学内容。”通过一定的整合,使学生在同样的课堂学习时间内学到更丰富的知识,大大提高学习效率。

人教版五年级下册数学广角《找次品》例1和例2分别让学生在3瓶钙片和9个零件中找出1个次品。而其后的练习课中有“你知道吗?”详细列举了物品数量与测试的次数的关系。

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如果把这三个内容整合在一起,在例1例2的基础上更进一步地研究找次品的方法,让学生自己去探索找次品的规律,那么,不仅可体现新课程改革中发挥学生主动性的特点,也更能吸引学生的注意力,提高学生学习的兴趣。

教学实践如下:

师:有3瓶钙片,其中1瓶少了3片(次品),你能设法把它找出来吗?

生1:用厨房秤分别称。

生2:每一瓶打开数一下。(学生大笑)

生3:用天平称。

师:假如用天平称,至少称几次能保证找到次品。请你在纸上画出示意图。

反馈归纳后得到3个中找1个次品的示意图:

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师:你能在4瓶、5瓶、6瓶、7瓶、8瓶、9瓶里找出1瓶次品吗?请你选择一题找找看,并把示意图画出来。

生反馈:

4瓶:

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5瓶:

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6瓶:

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7瓶:

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8瓶:

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9瓶:

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师:你发现了什么?小组讨论一下。

生1:都是2次找到次品。

生2:最好分成三份。

师:所以我们分的时候只要?

生2:除以3

生3:最多3个一份。

师:为什么要3个一份?

生3:因为3个里找1个次品前面学过了。

师:根据刚才的探究,你能在10瓶里面找1瓶次品,怎么找?请在纸上画一画示意图。

生1:你知道吗?教材练习题,居然能折腾出这么多深度学习的可能要3次

生2:你知道吗?教材练习题,居然能折腾出这么多深度学习的可能要3次

师:我们来整理一下,当2-3瓶时,只要1次就找到了,当4-9瓶时,2次,那你觉得10-几都是3次呢?(出示表格)

要辨别的物品数目

保证能找出次品需要没的次数

2-3

1

4-9

2

10-

3

生:18,21,27

师:画示意图验证一下。

反馈得出10-27瓶时,3次找到次品。

师:你觉得4次的范围是什么?5次呢?小组讨论。

生1:4次的范围是28-81瓶,5次的范围是82-243瓶。

师:你们是怎么想到的?

生2:1次最多是3个,2次最多是9个,乘3得到的,所以后面都是乘3就可以了,4次是27×3=81,5次是81×3=243。(师完善表格)

要辨别的物品数目

保证能找出次品需要没的次数

2-3

1

4-9

2

10-27

3

28-81

4

82-243

5

……

……

师:8次呢?100次呢?仔细观察表格中的数据,找找规律。

生:我发现1次最多是31,2次最多是32,3次最多是33,4次最多是34,5次最多是55,所以8次就是58,100次就是5100。

总结:

“让学生亲身经历,将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”和《数学课程标准》要求一致,在小学数学课堂教学过程中,我们根据小学生好动、好奇的心理特点,创设一些以学生活动为主,把一些实际问题通过一定的操作情境,使学生手、口、脑、眼等多种感觉器官参与,使数学课堂真正成为学生自主活动和探索的舞台,激励他们不断探索、创新。

当然,我们也应清楚让学生进行探究活动,必须把握学生的探究过程,使学生不盲目操作,减少走进误区的可能性,切实提高学生学习数学的效率。

教材2个例题在本课教学中,通过让学生不断地在不同瓶数中找次品,寻到规律,而不是单纯的让学生了解“你知道吗?”知识。在画示意图过程中,理解分的过程,为什么分3份的道理,以及每一次最多数的特征,俄国教育家乌申斯基说:“比较是一切理解和思维的基础;我们都是通过比较来了解世界的一切。”

通过观察示意图,在比较中找到规律,突破知识的难点,另外通过列表使知识更系统地展现在学生面前,便于发现特点,寻找规律,使找次品这一内容在规律面前变得格外清楚。

总之,只有善于在知识中寻找隐藏的知识,不满足现有的知识掌握量,才能做到“百尺竿头,更进一步。”知识总是给有准备的人,只停留在表面知识的获得,忽视隐藏知识的研究,只能使学生捡了芝麻丢了西瓜。

正如喝牛奶问题,如果在学生解决喝2次牛奶后不再研究3次、4次的情况,就不会产生规律的发现;又如填数,如果只让学生完成填空而已,不再联系旧知,就不会达到可以用旧知优化解题这一规律的目的;再如找次品时只按照例题出示的让学生找3瓶和8个中的次品,并直接告知规律,就不会出现探究过程的体验,不会存在亲自找到规律带来的激动。

教师要积极培养学生探究知识的主动性,在知识的深挖中找到先进的学习方法,让学生在表象面前再进一步,去了解更深的内涵。“更进一步,必能柳暗花又明!”

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【参考文献】

[1]《浙江省小学数学教学建议》。

[2]2012版《小学数学新课程标准》. http://jpzxx.dyedu.cn/html/2012/0923/3007.html。

[3]曹培英.《“数学广角”教学的系列研究(四)》.小学数学教育2017年第5期

[4]孙晶 臧永忠.《小学数学教学中“化难为易”的一些方法》.小学数学教育2017年第3期。

[5]刘霞 吴登文.《深度学习过程中的有效追问》. 小学数学教育2017年第11期。

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王玉生星教师

让学生在表象面前再进一步,去了解更深的内涵。

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– END –

本文为作者原创,转载请授权

作者王玉生(浙江省绍兴市上虞区天香小学

编辑丨陈薇

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