张宏伟:全景式的数学思维重建

张宏伟:全景式的数学思维重建

2018年5月,北京、山东两地特级教师张宏伟在蒲公英大学进行了以《数学思考的全景式重建》为主题的精彩授课。

课堂精选

本文节选自本课课程实录。

01

聚焦知识技能学习

我们先来看一节课。

这一节课由两个例题构成,左侧是例二,右侧是例三,例一讲的是周长的概念。

张宏伟:全景式的数学思维重建

这节课的学习目标到底是什么?这个问题,我在全国各地都进行了一番调查,回收了问卷901份。

其中绝大多数老师都会写到,这节课的学习目标是理解、掌握长方形和正方形的周长计算公式,会计算长、正方形的周长,能解决生活中简单的实际问题。

但是,明确地把数学思考列为目标的,只有71份,占总人数的7.9%;把数学思考目标细化,并且列出了具体的数学思维培养路径的,只有两份,占总人数的0.2%。

这组数据反映,数学教学更多的是聚焦知识技能的学习,而不是学生的思考力。

我们都知道,数学学习的核心和关键是学会数学思考,涵养数学智慧。

对于学生而言,他在课堂上学会了知识,并不等于学会了数学思考。对于老师而言,教会学生数学知识,也并不等于教会了学生的数学思维。

在听课中,我也发现,很多数学课堂只见知识、不见智慧。

我们需要做的第一项工作,就是把数学教育从原来聚焦系统知识技能的培养,重新转移、回归,聚焦到数学思考能力的系统培养上。

因此,我在教每一项内容,上每一节课,甚至辅导每一道题的时候,都追问自己:它能在丰富学生思维的方法,改善学生思维的方式,特别是在启迪学生的思维认知等方面,提供哪些知识?

与此同时,每上完一节课,我都要求团队成员进行反思:

我是否始终关注了学生如何去思考?

我是否在尽力地引导学生学会如何思考?

我有多少时间和精力,是用在了数学思考力的培养上?

回过头来,我们再来看这节课,也就是培养数学思考的价值到底在哪里?

我看过国内所有版本教材的编排,尽管版本不同,但出题的依据,都是先学长方形的周长,再学正方形的周长,无一例外。

为什么这样编排?因为正方形是特殊的长方形,我们是按照知识逻辑去编排的。

那么,这就引发另外一件事情的思考:我们能不能先学例三,再学例二?

下图是我前年12月份,教学课上拍摄的一张照片。

张宏伟:全景式的数学思维重建

从板书的顺序上可以看到,我肯定是先板书了下面特殊的内容,再板书了上面一般的情况。

我把这节课的数学思考目标细化为4点,并围绕它们进行了课程和教学的重建。

首先,学生们根据第一课学习的方法,自然地就把两个数相加,然后是三个数相加,四个数相加,八个数相加。

到第五个就出现了正方形周长的计算,学生自然想到了7+7+7+7。

这时候我喊停,接着,有学生就说:“7×4。”

我把这两个算式都摆出来后,问学生们哪一个算式是对的?

学生自然就会说:“都对。”

我:“为什么都对?这个乘法为什么对?”

学生:“4个7相加不就是7×4吗?正方形每个边都是7,那么一共4个7,所以就应该7×4。”

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我:“这道题,用加法能做,用乘法也能做,哪一个更简便?”

学生:“乘法更简便。”

我:“既然用乘法更简便,那为什么前面的四个图形,不用乘法来计算呢?”

学生:“因为正方形特殊。”

我:“特殊在哪里?”

学生:“因为它四条边都一样长。”

于是,就有了我的第一个板书:特殊情况用特殊方法来解决。

随后,我又追问:“一般情况呢?”

学生:“一般情况就用一般的方法来解决。”

这时,我就完成了第二个板书:一般情况用一般方法来解决。

02

突破限制

这时,有关正方形周长的学习,就已经完成了。

接下来,我补充了教材上没有的图形,问学生:“这两个图形特殊吗?能用特殊的方法解答吗?”

学生说:“能用特殊的方法来解答,因为和正方形是一样特殊的。”

为什么要这样做?

一是突破了直角的限制,从直角到了任意角;

第二是突破了直边的限制,就是线段的限制,从直线到曲线,这两个图形和正方形是完全共通的,学生们自然一学就会。

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课上到这里并没有结束,接下来我又拓展到了所有的正六边形。

正方形其实就是正四边形,然后我给出正五边形,正六边形,正七边形,让学生继续拓展。

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这三个图形,我进行了精心的设计:

第一个图形给出了所有的边长,

第二个图形只给出了一条边长,

第三个图形则一条也不给。

最妙的是后边的省略号

我问学生们,省略号代表什么意思?

有学生就回答说:“正几边形的周长,就用边长乘以几。”

最后,我把前面所有学过的正多边形的图形,归结在一起,让学生们看,进行整体的对比、分析。

学生立刻就会发现,“求一个图形的周长,不管它是曲的、直的、凸的、凹的,只要所有的边长相等,就可以用乘法计算”。

这就是一种整体化的结构性的思考。

我仅仅是在教正方形的周长吗?

并不是,正方形只是思考特殊图形周长的一个跳板,是学生发现特殊问题特殊解决的敲门砖。

所以,我的教学目标,并不在正方形本身,而在于用正方形发现特殊问题特殊解决的一个基本的思路。

接下来学习长方形的周长,我用“特殊”这两个字,贯穿了整整一节课。

我:“它特殊吗?”

有个学生回答:“它有点小特殊。”

我:“小特殊在哪里?”

学生:“它不像刚刚学过的那些图形,所有的边都是一样长的,这个图形上下是一样的,左右也是一样的。”

我:“既然它小特殊,那能用小特殊的方法来解决吗?”

这时,所有的学生都领悟了:“用长乘以2加上宽乘以2。”

我继续追问:“学生们,你们能看到大特殊吗?”

这时,有个学生就说:“老师,我知道了,我可以把它看成完全一样的两边形。”

那个学生继续说:“比如,你把下边和右边的这条边,看成一条会拐弯的边,那么它的上面还有一条会拐弯的边,一条会拐弯的边是30,两条是一样的,所以就是长加宽的和乘以2。”

我讲了许多遍这课的内容,从没有想过这种比喻的方法。

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其实,长方形也只是解决这类问题的一块敲门砖,它并不是我教学的目的。

到了这里,教学完了吗?

没有,这时候,我又开始拓展学生的思维。

超越长方形,从直线到曲线,从直角到任意角,让学生学会类推,学生的思维一下子就打开了。

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就如上面这张图片,我告诉学生,这个世界上万事万物,都不是非黑即白,中间的是灰色的底面。

那么,我们在干什么?

我们在做全景式思考教育,一项非常重要的事情,就是补上图形的中间地带,补上思维的灰色区域。

实际上,我们是在超越数学。

除了这些东西,我还做了一件事情。

我跟学生们说,按照班级约定,迟到了就要接受批评。

如果一个学生迟到,是因为在上学路上,碰到一个老太太晕倒,他在那陪着老太太,直到救护车到来,因此导致上课迟到。这种情况下,是否应该被批评呢?

全班学生都持否定态度,认为非但不应批评,还应该表扬他。因为这是特殊情况。

接着,我又回到板书上来:

“孩子们,不仅数学是这样,生活当中所有的事情都是这样,遇到特殊情况就要特殊对待。而碰到一般的情况,就要用一般的方法来解决。”

03

四点思维目标

现在,我来公布课前思考和制订的四点思维目标是什么:

第一个目标是,在思考周长问题时,能根据周长的意义自觉向物体或图形一周的边线定向。

明确求周长的时候,应该把思考的着力点放在分析边线的特征上。

第二个目标是,学生能自觉地根据特征进行分类思考,决定采用一般的方法,还是与特征匹配的特殊方法。

感悟到一般问题用一般方法去解决,特殊问题用特殊方法去解决。

感悟到一般性方法是通用的方法,特殊的方法只能解决具有同样特征的专项问题。

特殊问题用特殊方法解决会更简便。

第三个目标是,期望学生通过课程的学习,感悟用特殊方法解决问题的核心是发现事物和图形的特殊之处;从不同的角度来思考,可以发现不同的特殊性,继而发现不同的特殊方法。

第四个目标是,通过汇总、比较、分类、类推等策略,对同类问题进行整体性分析和思考,初步学会系统、结构性地思考和解决问题。

我相信这些东西是“智慧”!对学生的成长和发展而言,它远比学会求长方形和正方形的周长的意义更大,影响更为深远。

每一个年级、每一项内容都有相应的思维培养的功用和价值。

全景式数学教育倡导:始终关注并充分发掘每一项内容、每一次教学活动在培养数学思考方面的重要价值,让学生用数学学会思考,更多的为学生的思维发展而教,更大程度上,把数学知识的教学变为数学智慧的教育。

这是我们重建的第一个模块。

重建的第二个模块是完整支撑数学思考的“背景内容”。

数学思考是需要一定的背景支撑的,包括它的语言、单词、概念等。

全景式数学教育利用整合出来的时间,引进了系列的非欧几何、模糊数学等非传统数学内容,并对传统内容进行了补充和完善。

这丰富、完整了支撑学生数学思考的“原材料”,让孩子能以完整的数学眼光看待和思考数学本身,看待和思考他所处的这个世界。

以四边形为例。

人教版教材中,有长方形、正方形、菱形、梯形和任意四边形,那么这完整吗?

从全景式数学教育来看,它是不完整的。

我在杭州任教时,曾对下面的这个图形进行过调查。

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在学生们学完四边形后,我就拿着像右侧一样形状的废钢板,到四个班级进行调查。

我问这是四边形吗?结果四个班的学生,无一例外地都说,它不是四边形。

我继续问原因,学生们就拿着书跟我说,书上的图形才是四边形。

听完学生们的这番话,我内心非常震撼。

我们都知道,其实这是凹四边形。

除了凹四边形,我的一个徒弟用四条小木棍来代表四条线段,首尾依次连接。

学生们看到这个图形后,发现这也是四边形。

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整个过程下来,我们的课程和传统的课本相比,仅仅多呈现了两个图形,多做一次操作,学生的认识从此就丰富和完整了!

04

数学有无限的可能性

我从不给孩子设限,努力让他们认识到数学也有无限的可能性,尽最大的努力,为孩子的数学思考奠基更广阔的智力背景,让孩子始终以自由的心态、开放的视野,去思考一切。

举一个案例。

2017年6月22日,一年级的下学期暑假前,还有不到两个星期就考试了。

当时,我接到了北京的一项任务,给北京骨干教师开放研修。我执教一节课,听完课的老师可以匿名提交评价。

当时,我上了一节复习课,课名叫作“100以内减法的复习”。

讲台上有三块黑板,我首先问学生们为什么要整理书包,整理教室?

他们一听,愣了,但是马上回答,不整理就会很乱。

另一个学生说,不整理东西不好找。

第三个学生说,不整理很乱,一乱我就心烦,不舒服。

然后,我说:“数学知识和书包、房间一样,你不整理,它就会乱,你想运用知识也难找,而且不整理,你的脑子会不舒服。这节课,我们就来整理100以内的减法,行吗?”

学生们都说行,我问谁来整理,他们说自己来整理。

我说:“好,你们以小组为单位,分类整理,整理光分类不行,还要举出重要的例子,因为最好的说明就是举例子。”

说完,学生们就开始小组合作了。

合作完后,开始小组反馈,

第一组学生说,老师,我们分为两位数减两位数、一位数减一位数和两位数减一位数的减法,而且各自举出了例子。

第二组的学生说,老师,我们分成了两大类:退位和不退位。

接着,他们又根据第一组学生的意见,把退位分成了三类,一类叫两位数减两位数的退位减法,两位数减一位数的退位减法和一位数减一位数的退位减法。

在举例时,学生们说了一句很了不起的话:“一位数减一位数的退位减法,我们暂时还没有找到例子。”

他们并没有说没有例子,而是暂时找不到。这就说明,我一直以来熏陶的观念已经见效了,那就是数学有无限的可能性,只是我们没发现而已。

而且,在讲解一位数减一位数的退位减法时,学生们发生了一点争执。

有学生说,第一组讲的,个位不够减也不一定退位,是错的,书上也错了。

当时我一愣,连问什么意思,让他举例子说明。

学生就上讲台说:“比如,6减9,26减9,第一个个位够减吗?我认为不够减,但也不需要借位,只要反过来减就行,然后加上负号等于负3。所以,个位不够减,不需要借位,只是说只有个位不够减,还有十位的时候,我们才从十位上去减。”

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在场听课的老师听完这番话后,纷纷鼓掌。

对此,我感到非常振奋和欣慰,我教了将近30年,从来没发现这个道理。

接着,第三组学生按连减和不连减来进行分。他们也是亲自到黑板上进行板书。

第四组的学生,按照结果来分,结果分为等于0的、大于0的和小于0的,而且各自举出了例子。

这时候,我又开始怀疑我的教学人生了:100以内的减法,包括负数吗?

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这时候下课了,然后一个学生还是不依不饶地喊:“老师,我还有一种分法。我把100以内的减法,分为整数减法和小数减法,比如说0.8减0.3等于0.5,也是100以内的。”

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这节课的反响非常不错。

有老师留言说:“本节课老师,教给学生如何整理复习,给学生整理的方法,老师不局限于教一年级的学生,学生生成什么问题,老师就勾连什么问题,做好了知识的延伸,哪怕与中学知识的联系。”

另一个老师说:“这节课,张老师打破了教材的知识限制,根据学生所需,很自然地将负数的知识,引入到课堂上,充分体现了尊重学生的需要。”

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这些老师的匿名评价,我最喜欢的是“尊重学生的需要”这几个字。

真正地尊重学生,不是课堂上跟他和颜悦色,而是真正地尊重课堂上每一个孩子的想法和每一个孩子的做法、每一个孩子的行动。

我们团队想破一个局:

对于一年级的学生,所有人都认为就应该学一年级的知识,不能学别的。

家庭教育是这样,学校教育也是这样,我们会给孩子先画一个圈,认为孩子只能学这个东西。于是,我们就在一个框框里去学,认为这是安全的。

等孩子把这个框里的东西学完了,我们再把这个框打破,给孩子套一个更大的圈,限制孩子在这个圈里学。

等孩子把这个圈里的东西学好了,我们再给一个更大的圈,打破这个圈再来学。

而全景式数学教育不一样,我们主张整体认识优先,一开始,就尽量给孩子一个完整的世界。

让他们在整个原始森林中研究和思考一棵树,通过研究一棵树去思考整个原始森林!


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