星教师︱汤卫红（清华大学附属小学）
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近些年，“整合数学”受到了前所未有的普遍关注。对此，清华附小已有多年的实践探索。
今天，星宝就与您分享清华附小汤卫红老师及团队的“整合数学”课程的实施路径及案例，希望给有志于此探索的老师们可资借鉴的经验与灵感。
“整合数学”课程可以整合哪些内容？
经过长期实践，清华附小探索形成了两大类课程：“１”指优质落实的国家基础课程，“Ｘ”是以国家课程为原点、根基生长出来的儿童个性课程。“１”与“Ｘ”构成一个整体，形成“１＋Ｘ”结构化的课程群，共同指向儿童的完整发展。
“整合数学”课程的设计包括：生活数学、数-科融合、数学阅读、3C创新实践等。
其中，优化落实的国家基础课程（生活数学、数-科融合）占“整合数学”课程的70%左右，体现国家课程的基础性。由“１”生长出来的儿童个性课程占30%左右，包括学校个性课程（数学阅读、3创新实践中的必选部分）、学生个性课程（3C创新实践中的自选部分）。
三条整合路径，更好地指向素养提升
我们对“整合数学”课程的实施研究分为：学科内渗透式整合、学科间融合式整合、超学科消弭式整合三条路径。
强调数学学科的独特属性和学科价值，充分挖掘学科内在的逻辑、关联，使之更好地发挥学科育人的功能。一是体现数学对培养学生素养的独立价值，但又适当渗透其他学科内容或与生活适当链接。二是打破以往只使用一个版本教材的局限，借鉴其他版本教材，进行整合、优化，发挥各版本教材的优势，使课程实施更富成效。三是打破教材编排结构，根据学生实际情况和发展需要，重新融合，二度转化，实现结构和功能在教育学方向的优化。
１.单元内容的整体优化
例如，二年级《认识人民币》单元，在学生的生活经验及感性认识的基础上，教师可通过一系列熟悉的购物活动，让学生认识各种面值的人民币，解决与人民币有关的、简单的实际问题。教材一步一步地让学生先通过“买文具”认识小面额人民币，再通过“买衣服”认识大面额人民币，最后通过“小小商店”经历购物过程，学会正确使用人民币。
但是，在实际的购物经历中，小面额、大面额、简单解决问题是交融在一起的，并不是分裂的，并且２元、２角、１角、５分、２分、１分的人民币已不在市面上流通，生活中几乎见不到。学生应该学习真实的数学，而不是人为割裂的数学。
基于以上分析，我们将原本一节节分散的学习内容打碎、重构，构建出以“货币与我们”为主题的单元学习内容。
2.领域融通的横向联系
例如，以“单位”为主题的系列复习课，教师可组织“数与代数”领域的整数计数单位、小数计数单位、分数计数单位以及“图形与几何”领域的长度单位、面积单位、体积单位、容积单位，单位之间的进率等相关内容，构建“单位”主题下的内容群，以促进学生加强对“单位”这一度量标准的整体认识。
３.跨段纵贯的思维提升
例如，受长期算术思维的影响，学生往往对等号的认识窄化为等号的程序性质，仅仅理解为单向的“得到”，忽视等号的关系性质，到了高年级就会影响代数思维的形成与发展。
因此，我们整合各阶段与等号相关的内容，融通代数与几何，开发设计基于问题的整合探究微课程，引发学生反思自己对等号的狭隘认识，提出想要探究的问题，通过天平中的平衡、运算中的关系、变量中的关系等活动引导学生矫正认识，形成对等号关系性质的正确认识，并初步渗透方程、函数等思想。
１.数学—科技
例如，北师大版五年级下册第86页有这样一道题目：
基于此，我们开发了以“山猫（捕食者）-雪足兔（被捕食者）”问题为主题的数科整合课：将科学的生物捕食问题和数学的统计领域结合起来，用统计表记录生物种群的数量，用复式折线统计图描述生物种群的数量变化等，通过观察、分析、比较，获得种群变化的科学规律。
２.数学—阅读
好的数学阅读能让学生汲取智慧、启迪思考、塑造人格、陶冶情操。我们专门开发了数学阅读课程，形成了《清华附小数学阅读书单》，让课程内容系列化、校本化。
汤卫红：阅读让数学可爱起来（附课程指南）（可点击链接查看）
以一年级第一学期为例，结合教材第二单元“比较”，我们在数学阅读课程中引入绘本《都陵村168号》。绘本描写了孤儿珍珍在邻居阿姨家生活的故事，自然融入三种事物大小、高矮、长短等的比较问题。在阅读中，学生不但感悟事物大小的排序方法，理解事物间的大小关系，而且能够从叔叔阿姨对珍珍的关爱中体会真情，触及内心最柔软的人性关怀。这样的内容既体现了学科的独特属性，又实现了超越，直指儿童的生命成长。
再如，“十进制计数法”是我校数学阅读课程的重要主题。对此，我们进行了螺旋上升的序列安排。一年级阅读绘本《过去的人们是怎么数数的呢》，二年级阅读《宇宙小子》。在此基础上，四年级时，我们将课本中的一段阅读材料加以挖掘、改造和丰富，开发出《从古人计数说起》阅读课。我们让学生经历人类计数历史中的几个关键阶段，体验不同时期计数法的繁与简、趣与美。
３.数学—艺术
第一，从数学中发现、创作艺术元素（作品）；第二，从艺术中寻找数学解释，丰富数学的视角和眼光。
例如，教学六年级《圆》单元第三节《欣赏与设计》时，我们让学生利用圆规在Ａ４纸上进行图案设计，并为自己设计的作品取一个既有诗意又契合主题的名字。这样的目的是希望学生用圆规作图，创造性利用圆的特征、位置关系的变化进行创意设计，在设计中感受对称美、奇异美、和谐美，并互相分析创作的方法，提高学生欣赏和鉴赏美的能力。
超越学科边界，将学生的学习与社会生活、实践打通，在实际生活情境中提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的综合实践创新能力。消弭式整合以真实问题为核心，将数学、科学、工程、技术、艺术等打通，以“主题”为牵引，以儿童发现（创造）为中心，以小课题研究为载体，以实践研究为主要方式，联动生活、社区、社会，综合运用各学科知识解决问题。
例如，以“社区的自然观察”为主题，让学生观察自己居住小区的植物，做一项小区植物大调查，并用淡净的文笔，配合精致的手绘图画下来。在这个过程中，学生体会大自然带给我们的快乐和智慧，感悟自然之美。最后，教师向学生推荐阅读颜展敏所著的《早安！我的植物邻居》。
在自选小课题的研究中，我们更注重根据学生的兴趣，引导学生关注身边的实际问题，并自主形成研究小组。教师在选题讨论、方案论证、实践探究、准备答辩等方面进行指导，构建丰富多样的研究平台。
比如，在六年级第二学期，我们开设毕业研学课程，该课程中很重要的一个项目就是结合研学旅行进行小课题研究。2018年，我们进行了“40年来，17年后：改革开放的京津冀”的研学旅行。在课程准备阶段，学生和教师一起了解背景、查阅资料、规划路线，确定初步的选题，带着问题踏上考察之旅。
在考察中，以小组为单位，重点走访，仔细询问，与相关人员展开讨论，探讨解决问题的思路，并对给出的方案进行论证。
回到学校后，学生再根据提出的解决问题的方案进一步多方求证，直到满意。以雄安为例，学生形成了以下小课题：雄安能成为下一个深圳吗？雄安千年秀林与气候变化。高科技企业由北京迁址雄安问题与机遇研究。雄安最适合创业的方向是什么？还有的学生就天津港、滨海新区、大宁水库与南水北调等展开系列课题的研究。
整个研究前后持续一个月，学生综合应用数学、科学、信息技术、社会等方面的知识对改革开放、对社会发展、对未来自己的规划等进行了初步的探索与思考，把自己的研究意识、研究水平也推上了新台阶。这样的综合性学习构建了学生全新的学习样态，无疑对学生素养的整体发展是大有裨益的。
三种整合方式的使用要灵活根据单元主题与内容、阶段性的梳理与提炼、与其他学科的主动契合、主题实践活动的整体实施等进行选择、交叉、融合使用，从而更好地指向素养的整体提升。
三年级第一学期“整合数学”课程全内容
以三年级第一学期“整合数学”课程内容为例，呈现统整、重组、优化、重组、开发、融合后的整体安排（见下表）。
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生活数学 |
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单元 |
优化后的内容安排 |
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混合运算 |
购物（无小括号的混合运算及其应用） 过河（带有小括号的混合运算及应用） |
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观察物体 |
观察物体（从不同位置观察两个物体的相互关系） |
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周长 |
什么是周长（认识物体表面或平面图形的周长） 长方形周长（求长方形周长） |
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加与减 |
捐书活动（三位数连加运算） 运白菜（三位数连减运算） 节余多少钱（三位数加减混合运算） 里程表（一）（0起点的有关里程表的实际问题） 里程表（二）（非0起点的有关里程表的实际问题） |
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乘与除 |
小树多少棵（整十、整百数乘一位数的口算） 需要多少钱（两位数乘一位数的口算） 丰收了（整十、整百数除以一位数的口算） 植树（两位数除以一位数的口算） 去游乐园〔两位数乘一位数（一次进位）〕 乘火车〔两、三位数乘一位数（连续进位）〕 去奶奶家（综合运用乘法解决实际问题） 买矿泉水（连乘） |
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认识小数 |
文具店（小数的初步认识1） 货比三家（小数的大小比较） 存零用钱（小数的不进位加和不退位减） 寄书（小数的进位加和退位减） 能通过吗（小数的初步认识1） |
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数学好玩 |
搭配中的学问（简单的组合问题） 时间与数学（探索共同休息日和日历中的规律） |
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数—科融合 |
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主题 |
说明 |
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校园中的树木 |
从科学课程内容出发，将对身边事物的认识和观察物体、测量等内容整合。 |
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年、月、日 |
将教材内容与科学课程内容整合，深化对年、月、日本身认识，对天文、历法、历史故事等融通理解。 |
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校园中的小动物 |
从科学课程内容出发，将对动物的观察研究与四季的认识、数据分析等整合。 |
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天气与统计 |
从科学课程内容出发，将统计方法、数据分析等整合其中，让科学研究找到数学方法支撑，让数学学习以真实数据收集为素材。 |
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数学阅读 |
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内容 |
说明 |
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阿拉伯数码 |
结合本册课本中的加与减、乘与除、混合运算等内容配合安排，了解计数、运算发展史，拓展运算知识和方法。 |
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寻找消失的爸爸（平面和立体） |
拓展课本中观察物体内容，发展空间观念。 |
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中国算筹 |
结合本册课本中的加与减、乘与除、混合运算等内容配合安排，了解计数、运算发展史，拓展运算知识和方法。 |
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神奇的面包机（乘方） |
结合本册课本中的加与减、乘与除、混合运算等内容配合安排，了解计数、运算发展史，拓展运算知识和方法。 |
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给我糕点吃，我就不吃你（数列） |
结合本册课本中的加与减、乘与除、混合运算等内容配合安排，了解计数、运算发展史，拓展运算知识和方法。 |
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大与小&关于时间的一切（计量、时间） |
拓展关于大小、时间的认识，促进正确大小、时间观念的建立，体会时间的周而复始的周期变化。 |
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成为好爸爸（时间） |
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避开恶猫的方法（图表） |
拓展教材内容，经历人类统计的发展过程，促进数据描述水平、数据分析的发展。 |
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游戏中的科学（有趣的游戏与实验） |
整本书阅读，适合中年级学生阅读、游戏、实验，动手做，玩中学，学中乐。发展学生探究精神、实践能力和创新意识。 |
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3C创新实践 |
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内容 |
说明 |
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校园中的测量 |
优化整合教材内容和校本实践活动，根据学生自主选择研究问题，分组合作进行实践探究，形成研究报告。 |
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足球月历 |
由教材内容生发，探索十二面体的制作方法，将月、星期等周期现象，手工制作、图案设计、学校文化等整合于实践制作中。 |
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时间的安排 |
由教材内容拓展、提升，将时间管理、规划安排、记时法、经过时间等以一天的安排为载体，以类似扇形统计图为形式，进行实践探究与创作。 |
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种子的成长 |
整合科学课程中的种子的发芽，提出问题假设，设计对比实验，用数学方法进行测量、观察、记录，用统计图表、进行描述，形成观察研究报告。 |
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怎样买划算 |
由教材内容生发，学生提出购买中的最佳省钱问题，设计方案，并通过调查、计算、验证，优化、完善购买方案，提出合理化建议。 |
值得注意的是，这几种课程形态有时候会以单元内容为基础，有意识地进行2～4种形态的组合，形成微课程群，产生集群的整体育人效应。
以一年级上册的第一单元“生活中的数”为例，我们以“数与我们的生活”为主题，整合了科学，拓展了阅读，优化了3C创新实践，让学生发展数感，了解数的价值和意义，体会人类对计数的不懈追求，感受其在科学记录、实际生活中的应用，使整合发挥系统育人的作用。在此，整合数学形成了以主题为线索，串联成一种新型的综合化课程形态。
小贴士
汤老师将出席2019星教师小学课程周主题峰会（4月12日-13日）
分享数学阅读课程的更多精彩实践
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本文综合自琅琅之家微信公号（ID：langlangzj） 编辑丨陈薇
星教师投稿邮箱 xingjiaoshi@dett.cn
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