从汉诺塔传说到乾坤大挪移,探寻数学规律和最优解题方法

从汉诺塔传说到乾坤大挪移,探寻数学规律和最优解题方法

【乾坤大挪移】

探讨「数学规律&最优解题方法」

从汉诺塔传说到乾坤大挪移,探寻数学规律和最优解题方法

你知道汉诺塔的传说吗?传说开天辟地的神在古印度的一个教塔里留下了三根金刚石的棒,第一根上面从上到下套着64个按小到大排列的金盘,神并命令庙里的众僧将它们一个个地从这根金刚石棒搬到另一根金刚石棒上,每天只能搬一个,大盘不能放在小盘上。最后64个金盘仍然要按小到大排列。可以利用其中的一根棒作为辅助。神预言:当僧侣们能将64个的金属盘按上述规则从指定的全部移至另一根金刚石棒上时,世界末日亦会随之到来了。

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在现实生活中,汉诺塔是一款经典的策略性游戏,它可以帮助开发智力,激发我们的思维。由于它方法的灵活多样性、游戏过程的多变性和游戏预设的多样性,既能极大地激发学生的探究兴趣和提高学生综合运用各种策略的能力,又能培养孩子积极向上的自信心和努力达到目的的意志力。汉诺塔问题在数学界有很高的研究价值,至今还在被一些数学家们所研究。

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为了让学生们在动手操作学具的过程中,可以进一步强化数学能力,超脑麦斯【乾坤大挪移】在汉诺塔的基础上又增添了“左右大挪移”,“圆盘大挪移”“顺序大挪移”。

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汉诺塔、写着1~10的绿色“数字跳棋”,红棋和紫棋的“左右跳棋”;还有像蜂巢一样的“蜂巢跳棋”。多种学具组合成了“乾坤大挪移”。

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【乾坤大挪移】课程中蕴藏着丰富的数学思想以及数学能力培养方法,包括:数学归纳的方法、数学建模、数学递归的思想、最优化选择的方法等,在操作中让孩子不仅体验到乐趣,还能学到许多数学知识。

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01

归纳推理能力

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进行数学活动少不了分析推理,推理可以细分为归纳推理和类比推理。归纳推理是以很多个别的操作或知识为前提,推出一般性知识为结论的推理。归纳法是对观察、实验和调查所得的个别事实,概括出一般原理的一种思维方式和推理形式,其主要环节是归纳推理。就像在操作“圆盘大挪移”时,如果学生想探索蜂巢跳棋数量和移动次数之间的规律,就要在移动跳棋的过程中进行分析推理来得到答案。

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或者我们可以以操作汉诺塔进行的“圆盘大挪移”课程为例,学生由最简单的3层圆盘开始尝试,得到全部移动的最少步数为7步,再通过操作4、5层得到各自所需的最少步数,当对三组数据进行观察、归纳时,学生就能从中发现汉诺塔层数与移动步数之间的数量关系,而这就是典型的归纳推理。

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类比推理亦称“类推”。根据两个对象在某些属性上相同或相似,通过比较而推断出它们在其他属性上也相同的推理过程。学生们可以通过类比推理去解决更复杂的问题。归纳训练类比推理训练同时也有助于学生建立解题模型,通过推理学生可以在操作汉诺塔的时候更好的移动部署。

02

数学建模

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对于孩子来说,数学建模帮助孩子在日常的数学学习中建立数学概念、建构数学学习方法,在这个过程中培养数学思想,慢慢提升数学解决问题的能力。通过数学模型去观察分析现实问题、解决现实问题,并且在这个过程中提升对数学的理解,拓展思维,积累数学经验。

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【乾坤大挪移】有助于学生在脑海中建立解题的数学模型。例如乾坤大挪移中的汉诺塔,通过推理,学生能够建立移动步数和移动层数之间的数量关系;左右大挪移中的数字大挪移,则能由推理帮助学生感悟模型思想,强化移动次数与块数之间的数量关系。

03

数学递归法

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递归又称归纳定义,归纳定义是定义集合的一种方法,对于用归纳定义给出的集合,要证明其中所有的元都有某个性质,通常用归纳证明。数学递归,就是指如果要求解当前状态,就需要求解其依赖的迁移状态。

算法通常有这样的特征:

(1)为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题;

(2)从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,再从中构造出规模较大问题的解。

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以“左右大挪移”为例,学生完成三颗棋子的挑战后,在挑战四颗棋子的移动时,会发现只要把左右最外侧的两颗棋子看成一颗,就成了学生已经会的三颗棋子的移动。因此就能轻松由规模较小的问题中,构造出规模较大问题的解,而这就称为“递归法”。

04

最优的解题方法

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“乾坤大挪移”课程中的汉诺塔、左右大挪移都让学生在操作中不断思考优化,比方说在操作汉诺塔的时候,有的学生在移动三层的时候用了11步,有的用了9步,不同的步数让学生们思考有没有可能走出更少的步数。不同的步数促使学生进行思考不断优化至成功挪移所需的最少的步数。在探索最优的解题方法过程中进行反思,然后探讨移动步数数量变化的规律。

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