张宏伟:数学思维的全景式重建|课程周专家说

课程周峰会

昨天是2019星教师年度小学课程周主题峰会召开的第五天。数学四位名师重磅亮相,带来精彩的课程实践分享。星宝先为你呈现张宏伟老师的讲座精华内容,赶紧一睹为快!

张宏伟:数学思维的全景式重建|课程周专家说

全国著名特级教师张宏伟,“全景式数学”首创者

刚才老师已经谈到,目前我们小学培养孩子的思维,更多的是局部精致化的分析思维。

比如,老师执教单元例题时,往往都是教完例一教例二,教完例二再教例三,等到所有例题都学会了,老师便开始整理复习,连成网、织成片。

这时,你会发现学生只有一个选择,就是跟着老师一个例题一个例题地学,例一就是例一,例二就是例二,学完后也不知道看向哪里。因此,这一定是短视的、局部的片面化思维,不是整体的。

而全景式数学就是要改变这种思维模式,从整体到部分,再到整体,建立完整的CPFS结构,建立系统的思维框架和解决模型,学生一旦学会一个例题,剩余的各个例题完全可以自学,而且势如破竹。

所以,在我看来,全景式重建的一点,就是把目前的教学,从局部、点状、封闭的分析性思维,变为整体、系统、开放的结构化思维。在整座原始森林中思考一棵树,通过一棵树思考整座原始森林。

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2017年5月,在吉大附中力旺实验学校,我调查了296名初一的学生。其中一题是这样的:

请判断:只有等底等高的圆柱和圆锥,圆锥的体积才是圆柱的1/3。

结果有196名学生做错,出错率高达66.22%。在我看来,这么多学生出错,一定不是学生的问题,一定是教育的问题。

我们扪心自问:用等底等高的圆柱和圆锥做实验去推导的策略是学生自己独立“想”到的吗?这个发现是学生自己的真发现吗?学生独立思考的权利、意识和习惯被我们更快、更好、更高效地理解和掌握公式的“善意”剥夺了。

我们编排的很多所谓的发现和思考过程,其思考是被动的思考,不是学生主动的思考,不是学生独立的思考,不是学生原真的思考。学生虽然学会了知识,却长不了智慧。他以后再碰到这种从未见过的全新问题,还是依然无从下手,不会独立解决。

美国信息加工心理学创始人A.纽厄尔和H.A.西蒙认为:所有的思维的时序过程都包括:开始状态——中间状态——目的状态。

开始状态包括触发和定向两个思考模块。思维的触发和定向是思维的启动阶段,它直接决定了学生的每一次的思考的方向和选择的路线是不是正确。

因此,全景式数学教育另一个重建就是:在每项内容的编排和教学中,补上触发和定向课程,让学生学会自己找到那扇门。

那么,到底如何编排,如何教学,才能让学生自己找到思维的触发点,明确思维触发的机制,并实现自主、正确的定向呢?

教材上是直接让学生拿等底等高的圆柱和圆锥去比,我教的这一部分恰恰是课本上缺的那一段。这一段经历是让学生悟到“如何建立联系,如何转化新问题”的最为关键的过程。

学生在这样的过程中,能明确地建立起这样的思考意识:要在相似点更多、联系最密切的相关事物中,寻求问题转化和突破的方法与路径。

我认为:这是比学会计算圆锥体积更上位、更重的思考逻辑和思考策略。

它具有方法论的意义!

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数学思考的过程,包含两个大的维度:一是思考时序;二是思考空间。

“思考空间”是指,学生面对问题独立从不同的点触发,向不同的方向、不同的维度、不同的状态,进行发散、链接、转换,从而创生和选择不同的思考路径和方法。思考空间的大小、开放和自由程度,直接决定着学生思维的个性和批判精神的养成。

现行教材和教学对“数学思考的空间”还没有足够地重视和关注,相应的设计贫乏、甚至缺失。这是造成学生思维空间狭隘,思维缺乏个性,创造性解决问题的能力严重不足的重要原因。

鉴于此,全景式数学教育团队的另一项重建工作就是:补充、完整数学思考空间。

以圆锥为例:关于圆锥的体积公式推导,课本上只安排了一个方案:准备等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器,将圆锥形容器装满沙子,再倒入圆柱形容器,看几次能倒满。这种设计,很明显是希望在我们的“指导”下,学生能以最简单的方式、用最少的时间,理解和掌握计算公式。

我们太急了!

在日常教学中,面对考试,我们心底根深蒂固地隐藏着这样的想法:无论运用什么方法,不都是为了让学生学会圆锥的体积怎么算吗?只要学生能理解公式,会做各种体积计算的题目就行了。

因此,我们不想、也不舍得拿出更多的时间和精力,让学生独立、自主、多样、深入地思考和研究。长此以往,学生便逐步丧失了思维本该有的自由、开放、独立和多元,而没有这些,哪里来的批判思维?

不仅课程编排有这些现象,我们日常课堂上的评语也隐含着这样的导向。我们的教学口头禅是:明白了吗?懂了吗?会了吗?听着这样的要求,学生就会满足于:我理解了某某知识、我会做这样的题……习得的是共性的知识和技能。

那么,圆锥的体积教学,我们到底该怎样营造思考空间,培养思维的个性呢?

我们利用长线浸润的思路,打破课堂空间、时间的限制,除了书上的学具,还提供了另外8种研究材料:诸多的圆锥形铅锤、机场饮水杯、锥形冰淇淋、圆锥形橡皮泥、大型量杯、尺子、三角板、电子秤。

学生可以从中任选一样或几样计算圆锥体积,并尝试发现计算公式。当然,他也可以自己找其他的圆锥体,我只要求他们:必须独立思考研究、必须是自己的真发现。

于是,学生自己利用各种学具,创生了多种不同的思考路径,都属于实证式的不完全归纳推理。我们又给孩子提供了迥异的演绎推理,在丰富、完整思考空间的同时,也完善了推理的类型。

学生发现的第1种,是和书上一样的实验建模;

第2种,学生自己发现的变形建模:有两个一样的圆锥橡皮泥,把其中一个变成一样“粗”的圆柱,只有原来的三分之一高,说明圆锥的体积是底面积乘高,再乘三分之一。

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第3种,数据分析建模A:学生用量杯、尺子等量出圆锥的体积、底、高,填入下表,然后计算发现数据之间的关系(如下图),继而发现圆锥的体积公式。

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第4种,数据分析建模B,学生刚学完圆柱,知道了钢每立方厘米7.8克,孩子称重后,直接用质量除以7.8算出圆锥的体积,然后测量底、高填入统计表,继而利用数据分析发现计算公式。

后两种都是利用数据分析的方式,推导出体积计算公式。到这里,我杀了个回马枪,要求学生从下图中选用等底不等高的⑤号圆柱和⑥号圆柱做实验,进行第5种和第6种推导:

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再推广到其他高和底均不等的圆柱,学生通过自己的计算,惊讶地认识了“不一样”的1/3Sh:

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通过这些活动,学生彻底突破了等底等高的限制,再面对“只有等底等高的圆柱和圆锥,圆锥的体积才是圆柱的三分之一”这道判断题时,几乎没有出错的!

在学生充分独立思考和研究了6种方案的基础上,我们印发了无限切割的推导思路给孩子选读。有不少孩子看懂了这种建模方法,看不懂的孩子也能浪漫地知道,还有切割成无数个近似的圆柱体的推导方法。

再呈现第8种微分建模,孩子不一定懂,也绝不要求他们学!我们只是想给他们埋下一颗未来学习的种子,使他们进一步认识到:解决同一个问题,永远会有,而且可能有很多种你暂时还没想到的思考方法!

在这个探索过程中,我尽了最大的努力、提供尽可能多样的学具,最大限度地还回研究的空间和时间,最大限度地给予信任和耐心等待。

由此,学生的思考空间也是完全敞开的、自由的、丰富的、广角的、完整的!

长此以往,就能让数学在实现趋同(求得现象背后共性的本质和客观规律)的同时,又最大化地求异,让不同的孩子可以从不同的路径去理解数学、看待数学,继而从不同的角度去认识这个世界,找到他自己,最终成长为有思想的人。

作为一名老师,我们一定要珍惜自己在课堂上“微不足道”的权力,发挥自己“微不足道”的力量,努力让每个孩子在我们的课堂上真正成为有尊严的人。我们自己,也成为:一位真正有尊严的老师!

张宏伟:数学思维的全景式重建|课程周专家说

在这个探索过程中,我尽了最大的努力、提供尽可能多样的学具,最大限度地还回研究的空间和时间,最大限度地给予信任和耐心等待。由此,学生的思考空间也是完全敞开的、自由的、丰富的、广角的、完整的!

长此以往,就能让数学在实现趋同(求得现象背后共性的本质和客观规律)的同时,又最大化地求异,让不同的孩子可以从不同的路径去理解数学、看待数学,继而从不同的角度去认识这个世界,找到他自己,最终成长为有思想的人。

以上内容根据2019星教师年度小学课程周主题峰会张宏伟《数学思维的重建(2)》讲座整理,未经作者审核,请勿转载。


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小学数学专场明天精彩继续

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正文作者丨张宏伟

编辑丨胡雪莲 田佩

星教师投稿邮箱

xingjiaoshi@dett.cn

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